Moving genomsnittet acf

Identifiera antalet AR - eller MA-termer i en ARIMA-modell. ACF - och PACF-diagram Efter en tidsserie har stationerats genom differentiering, är nästa steg i anpassning av en ARIMA-modell att avgöra om AR eller MA-termer behövs för att korrigera autokorrelation som förblir i de olika serierna Naturligtvis med programvara som Statgraphics kan du bara prova några olika kombinationer av termer och se vad som fungerar bäst Men det finns ett mer systematiskt sätt att göra detta Genom att titta på autokorrelationsfunktionen ACF och partiella autokorrelations PACF-plottar av De olika serierna kan du preliminärt identifiera antalet AR - och MA-termer som behövs. Du är redan bekant med ACF-diagrammet. Det är bara ett stapeldiagram över koefficienterna för korrelation mellan en tidsserie och lagar sig själv. PACF-diagrammet är En plot av de partiella korrelationskoefficienterna mellan serien och lager av sig själv. I allmänhet är den partiella korrelationen mellan två variabler mängden korrelationsbeteende n dem som inte förklaras av deras ömsesidiga korrelationer med en specificerad uppsättning andra variabler. Om vi ​​till exempel regresserar en variabel Y på andra variabler X1, X2 och X3 är den partiella korrelationen mellan Y och X3 mängden korrelation mellan Y och X3 som inte förklaras av deras gemensamma korrelationer med X1 och X2. Denna partiella korrelation kan beräknas som kvadratroten av reduktionen i variansen som uppnås genom att lägga X3 till regressionen av Y på X1 och X2. En partiell autokorrelation är mängden korrelation mellan en variabel och en lag i sig som inte förklaras av korrelationer vid alla lägre ordningslag. Autokorrelationen av en tidsserie Y vid lag 1 är koefficienten för korrelation mellan Y t och Y t - 1 vilket är förmodligen också sambandet mellan Yt-1 och Yt-2. Men om Yt är korrelerat med Yt-1 och Yt-1 är lika korrelerat med Yt-2 då borde vi också förvänta sig att hitta korrelation mellan Yt Och Y t-2 Faktum är mängden korrel förloppet som vi borde förvänta sig vid fördröjning 2 är exakt kvadraten av lag-1-korrelationen Således sprider korrelationen vid lag 1 till fördröjning 2 och förmodligen till högre ordningslag. Den partiella autokorrelationen vid lag 2 är därför skillnaden mellan den faktiska korrelationen vid Lag 2 och den förväntade korrelationen på grund av propagation av korrelation vid lag 1. Här är autokorrelationsfunktionen ACF i UNITS-serien innan någon differentiering utförs. Autokorrelationerna är signifikanta för ett stort antal lags - men kanske autokorrelationerna vid Lags 2 och högre beror bara på utbredningen av autokorrelationen vid lag 1. Detta bekräftas av PACF-plot. Notera att PACF-plottet endast har en signifikant spik vid lag 1, vilket innebär att alla högreordens autokorrelationer effektivt förklaras av LAG-1 autokorrelationen. De partiella autokorrelationerna i alla lags kan beräknas genom att passa en följd av autoregressiva modeller med ökande antal lags. I synnerhet den partiella autokorrelation vid lag k är lika med den uppskattade AR k-koefficienten i en autoregressiv modell med k-termer, dvs en multipelregressionsmodell där Y regresseras på LAG Y, 1, LAG Y, 2, etc upp till LAG Y, genom enbart inspektion av PACF kan du bestämma hur många AR-termer du behöver använda för att förklara autokorrelationsmönstret i en tidsserie om den partiella autokorrelationen är signifikant vid lag k och inte signifikant vid någon högre orderlags - dvs om PACF-snittet Av i lag k - det här tyder på att du ska försöka montera en autoregressiv modell av ordning k. PACF i UNITS-serien ger ett extremt exempel på cut-off-fenomenet, det har en mycket stor spets vid lag 1 och ingen annan signifikant spikar, vilket indikerar att i avsaknad av differens skulle en AR 1-modell användas. AR 1-termen i denna modell kommer emellertid att motsvara en första skillnad, eftersom den uppskattade AR 1-koefficienten som är höjden av PACF-spetsen Vid lag 1 blir nästan exakt e qual till 1 Nu är prognosekvationen för en AR 1-modell för en serie Y utan ordningsregler. Om AR 1-koefficienten 1 i denna ekvation är lika med 1, motsvarar den att förutsäga att den första skillnaden i Y är konstant - det motsvarar likvärdigheten för slumpmässig promenadmodell med tillväxt. PACF i UNITS-serien säger att om vi inte skiljer det, då ska vi passa en AR 1-modell som kommer att visa sig vara motsvarar att en första skillnad med andra ord säger oss att enheter verkligen behöver en order av differentiering att vara stationarized. AR och MA signaturer Om PACF visar en skarp cutoff medan ACF avtar långsammare dvs har betydande spikar vid högre lags , säger vi att den stationära serien visar en AR-signatur, vilket betyder att autokorrelationsmönstret lättare kan förklaras genom att lägga till AR-termer än genom att lägga till MA-termer. Du kommer troligen att finna att en AR-signatur ofta är associerad med positiv autokorrelation vid Lag 1 - dvs det tenderar att uppstå i serier som är något under olika. Anledningen till detta är att en AR-term kan fungera som en partiell skillnad i prognosförhållandet. I en AR 1-modell verkar AR-termen som en första skillnaden om den autoregressiva koefficienten är lika med 1, det gör inget om den autoregressiva koefficienten är noll och det fungerar som en partiell skillnad om koefficienten är mellan 0 och 1 Så om serien är något underdifferentierad - dvs om den icke-stationära mönstret av positiv autokorrelation har inte helt eliminerats, det kommer att begära en partiell skillnad genom att visa en AR-signatur. Följaktligen har vi följande tumregel för att bestämma när man ska lägga till AR-villkor. Rulla 6 Om PACF för den olika serien visar en skarp avstängning och eller lag-1 autokorrelation är positiv - om serien verkar något underdifferentierad - då överväga att lägga till en AR-term till modellen. Den fördröjning som PACF avbryter är det angivna numret Av AR-termer. I princip kan varje autokorrelationsmönster avlägsnas från en stationär serie genom att lägga till tillräckligt autoregressiva termer av den stationära serien till prognosförhållandet och PACF berättar hur många sådana termer som sannolikt behövs. Detta är emellertid inte alltid det enklaste sättet att förklara ett givet autokorrelationsmönster ibland är det mer effektivt att lägga till MA-termerna i prognosfel istället Autokorrelationsfunktionen ACF spelar samma roll för MA-termer som PACF spelar för AR-termer - det vill säga ACF berättar hur många MA-termer som kommer att behövas för att ta bort den återstående autokorrelationen från de olika serierna Om autokorrelationen är signifikant vid lag k men inte vid högre nivåer - det vill säga om ACF slår av vid lag k - indikerar detta Att exakt k MA termer ska användas i prognosekvationen I det senare fallet säger vi att den stationära serien visar en MA-signatur, vilket innebär att autokorrelationsmönstret kan förklaras lättare genom att lägga till MA-termer än genom att lägga till AR-termer. En MA-signatur är vanligtvis associerad med negativ autokorrelation vid lag 1 - det tenderar att uppstå i serier som är något över olika. Anledningen till detta är att en MA-term kan delvis Avbryt en order av differentiering i prognosförhållandet För att se detta, kom ihåg att en ARIMA 0,1,1 modell utan konstant motsvarar en enkel exponentiell utjämningsmodell. Prognosekvationen för denna modell är. Där MA 1 koefficient 1 motsvarar kvantitet 1 - i SES-modellen Om 1 är lika med 1 motsvarar detta en SES-modell med 0, vilket bara är en CONSTANT-modell eftersom prognosen aldrig uppdateras. Det betyder att när 1 är lika med 1, avbryter den faktiskt differensoperationen som vanligtvis gör det möjligt för SES-prognosen att förankra sig själv vid den sista observationen Å andra sidan, om den glidande medelkoefficienten är lika med 0, minskar denna modell till en slumpmässig promenadmodell, dvs den lämnar dif ferencing operation ensam Så om 1 är något större än 0, är ​​det som om vi delvis avbryter en ordning med differentiering Om serien redan är något överdriven - dvs om negativ autokorrelation har införts - då kommer den att be om en skillnad att delvis avbrytas genom att visa en MA-signatur Många armvinklingar pågår här En mer noggrann förklaring av denna effekt finns i den matematiska strukturen i ARIMA Models handout Följaktligen följande extra tumregel. Rulla 7 Om ACF av de olika serierna visar en skarp avstängning och eller fördröjningen 1-autokorrelationen är negativ - om serien uppträder något överdifferensierad - då överväga att lägga till en MA-term i modellen. Den fördröjning som ACF avbryter är det angivna antalet MA termer. En modell för UNITS-serien - ARIMA 2,1,0 Tidigare bestämde vi oss för att UNITS-serien behövde minst en order av nonseasonal differencing som skulle stationeras. Efter att ha tagit en icke-säsongsskillnad - dvs Montering av en ARIMA 0,1,0-modell med konstant - ACF - och PACF-diagrammen ser så här ut. Notera att en korrelation vid lag 1 är signifikant och positiv, och b PACF visar en skarpare cutoff än ACF PACF har bara två signifikanta toppar, medan ACF har fyra Således, enligt regel 7 ovan, visar den olika serien en AR 2-signatur. Om vi ​​därför ställer AR-ordens ordning till 2 - dvs passa en ARIMA 2,1, 0-modellen - vi erhåller följande ACF - och PACF-tomter för resterna. Autokorrelationen vid de avgörande lagarna - nämligen lags 1 och 2 - har eliminerats och det finns inget märkbart mönster i högre ordningens lags. Tidsseriens plot av resterna visar en lite orolig tendens att vandra bort från medelvärdet. Sammanfattningsvis visar analysens sammanfattande rapport att modellen ändå fungerar ganska bra under valideringsperioden, båda AR-koefficienterna skiljer sig avsevärt från noll och standardavvikelsen hos de resterande ämnena Har minskats från 1 54371 t o 1 4215 nästan 10 genom tillsatsen av AR-termerna Dessutom finns det inget tecken på en rotationsenhet eftersom summan av AR-koefficienterna 0 252254 0 195572 inte ligger nära 1 Enhetens rötter diskuteras mer detaljerat nedan. detta verkar vara en bra modell. De otransformerade prognoserna för modellen visar en linjär uppåtgående trend som prognostiseras i framtiden. Trenden i de långsiktiga prognoserna beror på att modellen innehåller en icke-tidsskillnad och en konstant term denna modell är i princip en slumpmässig promenad med tillväxt finjusterad av tillägget av två autoregressiva termer - det vill säga två lager av de olika serierna. De långsiktiga prognosernas lutning, dvs den genomsnittliga ökningen från en period till en annan är lika med medelperioden i modell sammanfattning 0 467566 Prognosen ekvationen är. var är den konstanta termen i modell sammanfattningen 0 258178, 1 är AR 1 koefficienten 0 25224 och 2 är AR 2 koefficienten 0 195572.Manan mot konstant I allmänhet är den genomsnittliga termen i Output av en AR IMA-modellen refererar till medelvärdet av de olika serierna, dvs den genomsnittliga trenden om ordningen för differentiering är lika med 1, medan konstanten är den konstanta termen som visas på den högra sidan av prognosekvationen. De medelvärda och konstanta termerna är Relaterat till ekvationen. KONSTANT MEAN 1 minus summan av AR koefficienterna. I detta fall har vi 0 258178 0 467566 1 - 0 25224 - 0 195572.Alternativ modell för UNITS-serien - ARIMA 0,2,1 Minns att när vi började analysera UNITS-serien var vi inte helt säkra på att den korrekta ordningen för differentiering skulle användas. En ordning av icke-säsongsskillnader gav den lägsta standardavvikelsen och ett mönster av mild positiv autokorrelation, medan två order av icke-säsongsskillnader gav en mer stationär - klockande tidsserier plot men med ganska stark negativ autokorrelation Här är både ACF och PACF i serien med två icke-sekundära skillnader. Den enda negativa spetsen vid lag 1 i ACF är en MA 1-signatur, accordin g till regel 8 ovan Således skulle vi, om vi skulle använda 2 icke-säsongsskillnader, också inkludera en MA 1-term, vilket ger en ARIMA 0,2,1-modell. Enligt regel 5 vill vi också undertrycka den konstanta termen Här är resultatet av att montera en ARIMA 0,2,1-modell utan konstant. Notera att den beräknade standardstandardavvikelsen för RMSE är endast mycket lite högre för den här modellen än den tidigare 1 46301 här jämfört med 1 45215 tidigare Prognosen ekvationen för denna modell är. där theta-1 är MA 1-koefficienten. Minns att detta liknar en linjär exponentiell utjämningsmodell med MA 1-koefficienten som motsvarar kvantiteten 2 1-alfa i LES-modellen. MA 1-koefficienten på 0 76 i denna modell föreslår att en LES-modell med alfa i närheten av 0 72 skulle passa lika bra. När en LES-modell är utrustad med samma data visar det optimala värdet av alfa sig på 0 61, vilket är Inte för långt bort Här är en modell jämförelse rapport som visar resultaten av montering av ARIMA 2,1-modellen med konstant, ARIMA 0,2,1-modellen utan konstant och LES-modellen. De tre modellerna utför nästan identiskt under uppskattningsperioden och ARIMA 2,1, 0-modellen med konstant framstår något bättre än de andra två i valideringsperioden. På grundval av dessa statistiska resultat ensamma skulle det vara svårt att välja bland de tre modellerna. Men om vi plottar de långsiktiga prognoserna som gjorts av ARIMA 0, 2,1 modell utan konstant som är i stort sett samma som i LES-modellen ser vi en signifikant skillnad jämfört med den tidigare modellens prognos. Prognoserna har något mindre uppåtgående än de tidigare modellerna eftersom de lokala Trenden nära slutet av serien är något mindre än den genomsnittliga trenden över hela serien - men konfidensintervallet växer mycket snabbare. Modellen med två order av differentiering förutsätter att trenden i serien är tidsvarierande och därför beaktar den avlägsna framtiden att vara mycket osäkerare än modellen med endast en ordning av differentiering. Vilken modell ska vi välja? Det beror på antagandena som vi är bekväma att göra med hänsyn till utvecklingen av datautvecklingen. Modellen med endast en order av differentiering förutsätter en konstant genomsnittlig trend - det är i grunden en finjusterad slumpmässig promenadmodell med tillväxt - och det gör därför relativt konservativa trendprognoser. Det är också ganska optimistiskt om den noggrannhet som den kan förutsäga mer än en period framåt. Modellen med två Order of Differencing antar en tidsvarierande lokal trend - det är i huvudsak en linjär exponentiell utjämningsmodell - och dess trendprognoser är något mer svaga. Som en allmän regel i en sådan situation skulle jag rekommendera att välja modellen med den lägre order av differentiering, andra saker är ungefär lika i praktiken verkar slumpmässiga eller enkla exponentiella utjämningsmodeller ofta fungera bättre än linjär exponentiell utjämning modeller. Blandade modeller I de flesta fall visar den bästa modellen en modell som bara använder AR-termer eller endast MA-termer, men ibland kan en blandad modell med både AR - och MA-termer ge bästa passform till data. måste utövas när man monterar blandade modeller Det är möjligt för en AR-term och en MA-term att avbryta varandra s effekter, även om båda kan verka signifikanta i modellen som bedömts av t-statistiken för deras koefficienter. Antag exempelvis att Den rätta modellen för en tidsserie är en ARIMA 0,1,1-modell, men istället passar du en ARIMA 1,1,2-modell - det vill säga att du inkluderar ytterligare en AR-term och en extra MA-term. Det förefaller vara betydande i modellen, men internt kan de bara fungera mot varandra. De resulterande parametrisuppskattningarna kan vara tvetydiga och parametrisuppskattningsprocessen kan ta mycket många, t. ex. mer än 10 iterationer, för att konvergera. Därför är det möjligt för en AR Term och en MA term till avbryta varandra s effekter, så om en blandad AR-MA-modell verkar passa data, försök även en modell med en färre AR-term och en mindre MA-term - speciellt om parametervärdena i originalmodellen kräver mer än 10 iterationer för att konvergera. Av denna anledning kan ARIMA-modeller inte identifieras genom bakåtriktad stegvis tillvägagångssätt som innehåller både AR - och MA-termer. Med andra ord kan du inte börja med att inkludera flera termer av varje slag och sedan kasta ut de vars beräknade koefficienter inte är signifikanta i stället , brukar du följa ett steg framåtriktat, lägga till termer av ett slag eller det andra som indikeras av utseendet på ACF - och PACF-diagrammen. Utför rötter Om en serie är grovt under - eller överdifferensierad, det vill säga om en hel ordning med differentieringsbehov behöver att läggas till eller avbrytas, signaleras detta ofta av enhetsrot i beräknade AR - eller MA-koefficienter för modellen. En AR1-modell sägs ha en rotationsenhet om den uppskattade AR 1-koefficienten nästan är lika med 1 Vid e xaktivt lika menar jag verkligen inte väsentligt annorlunda än vad gäller koefficientens eget standardfel När det händer betyder det att AR 1-termen precis efterliknar en första skillnad, i vilket fall bör du ta bort AR 1-termen och lägga till en order av skillnad i stället Det här är exakt vad som skulle hända om du monterade en AR 1-modell till den odödliga UNITS-serien, som noterat tidigare. I en AR-modell med högre ordning finns en enhetrots i AR-delen av modellen om summan av AR koefficienterna är exakt lika med 1 I det här fallet bör du minska ordningen av AR-termen med 1 och lägga till en ordning med differentiering. En tidsserie med en rotationsenhet i AR-koefficienterna är icke-stationär - det behöver en högre ordning med differentiering. Regel 9 Om det finns en rotationsenhet i AR-delen av modellen - dvs om summan av AR-koefficienterna är nästan exakt 1 - bör du minska antalet AR-termer med en och öka ordningsskillnaden med en. På samma sätt sägs en MA 1-modell ha en un det rotar om den uppskattade MA 1-koefficienten är exakt lika med 1 När detta händer betyder det att MA 1-termen exakt avbryter en första skillnad, i vilket fall bör du ta bort MA 1-termen och även minska sorteringsordningen med en I en MA-modell med högre ordning finns en enhetsrots om summan av MA-koefficienterna är exakt lika med 1.Rule 10 Om det finns en rotationsenhet i MA-delen av modellen - dvs. om summan av MA Koefficienter är nästan exakt 1 - du borde minska antalet MA-termer för en och minska ordningsskillnaden med en. Exempelvis, om du passar en linjär exponentiell utjämningsmodell en ARIMA 0,2,2-modell vid en enkel exponentiell utjämning Modell en ARIMA 0,1,1 modell skulle ha varit tillräcklig, kan du konstatera att summan av de två MA koefficienterna är nästan lika med 1 Genom att minska MA-ordern och sorteringsordningen med en var och en får du det lämpligare SES-modell En prognosmodell med enhetsrot i de uppskattade MA-koefficienterna är s hjälp att vara noninvertible vilket innebär att resterna av modellen inte kan betraktas som uppskattningar av det verkliga slumpmässiga bruset som genererade tidsserierna. Ett annat symptom på en rotationsenhet är att prognoserna av modellen kan spränga eller på annat sätt uppträda bizartt. Om tiden serieplot av de långsiktiga prognoserna för modellen ser konstigt ut, bör du kolla uppskattade koefficienter för din modell för närvaro av enhetsrot. Rulla 11 Om de långsiktiga prognoserna verkar oregelbundna eller instabila kan det finnas en rotationsenhet i AR - eller MA-koefficienterna. Inget av dessa problem uppstod med de två modellerna som var monterade här, eftersom vi var försiktiga med att börja med rimliga differensbestämningar och lämpliga antal AR - och MA-koefficienter genom att studera ACF - och PACF-modellerna. Mer detaljerade diskussioner om Enhetsrötter och avbrottseffekter mellan AR och MA termer finns i den matematiska strukturen i ARIMA Models handout. AR MA, ARMA Acf - Pacf Visualizations. As nämnt i tidigare inlägg har jag Har arbetat med autoregressiva och rörliga genomsnittssimuleringar För att testa riktigheten av uppskattningar genom våra simuleringar använder vi acf-autokorrelation och pacf-partiell autokorrelation till vår användning. För olika order av AR och MA får vi de varierande visualiseringarna med dem, såsom exponentialsminskning kurvor. Dampade sinusvågor. Positive och negativa spikar, etc. While analysera och skriva test för samma, tog jag också tid att visualisera den data på ilne och stapeldiagram för att få en tydligare bild. AR 1 process. AR 1 process är den autoregressiv simulering med order p 1, dvs med ett värde av phi Ideal AR p-processen representeras av För att simulera detta, installera statistikprovserier från här. Här är antalet observationer, n 1500 större värde föredras för bästa passform, s 1 , med phi 0 9. För att generera det s autocorrelation. For en AR 1-process måste acf exponentiellt förfallna om phi 0 eller alternerande i tecken om phi 0 Ref Gå igenom analysen ovan Det kan visualiseras som När phi 0 acf decrea Ses exponentiellt När phi 0 får du alternativa acf lags. To generera det s partial autocorrelation. For AR 1 processen måste pacf ha en spik vid lag 1, då 0 Tidigare spike måste vara positiv om phi 0 annars negativ spik Ta en titt vid pacfserien genererad ovan Vid visualisering av data När phi 0-positiv fördröjning vid 1 och 0 innehåller 1 0 När phi 0-negativ fördröjning vid 1. Här är representationen av ideal acf-vs-pacf för positiv phi i AR 1.AR P process. Simulering av AR p-processen är liknande som AR 1.För AR p, måste acf ge en dämpande sinusvåg Mönstret är starkt beroende av värdet och tecknet på phi-parametrar När positivt innehåll i phi-koefficienterna är mer får du en sinusvåg startar från positiv sida, annars börjar sinusvåg från negativ sida Observera att dämpnings sinusvågen börjar från positiv sida här och negativ sida här. pacf ger spik vid lag 0 värde 1 0, standard och från lag 1 till lag k Exemplet ovan har AR 2-process, för det här måste vi få spikar a t lag 1 - 2 as. MA 1 process. MA 1-processen är den rörliga genomsnittsimuleringen med order q 1 dvs med ett värde av theta För att simulera detta, använd masimmetoden från Statsample ARIMA ARIMA. För theta 0 för MA 1 måste vi få en positiv spets vid lag 1 som för theta 0 måste spetsen vid lag 1 vara i negativ riktning som. När jag lägger dessa två visualiseringar åt sidan, verkar visualiseringen ganska passande. MA q process. MA q process Order q Antal theta koefficienter q Ideal MA q process representeras av. På samma sätt som AR 1-simulering, kommer det att ha spikar för lag 1 - lag p som. I pacf av MA q-simulering observerar vi exponentiellt sönderfallande dämpning sinusvåg. ARMA p, q process. ARMA p, q är kombination av autoregressiva och rörliga genomsnittssimuleringar När q 0 kallas processen som ren autogegressiv process när p 0 processen är rent rörlig genomsnitts. Simulatorn av ARMA kan hittas som armasim i statistik ARIMA ARIMA för ARMA 1, 1 process, här är jämförelserna av visualiseringarna från R och th Är kod, som just gjorde min dag. Cheers, - Ankur Goel. Posted av Ankur Goel 20 juli 2013.Recent Posts. GitHub Repos.2 1 Flytta genomsnittliga modeller MA models. Time-serien modeller som kallas ARIMA-modeller kan innefatta autoregressiva termer och eller flytta genomsnittliga termer I vecka 1 lärde vi oss en autoregressiv term i en tidsseriemodell för variabeln. xt är ett fördröjt värde på xt. En lag 1-autoregressiv term är x t-1 multiplicerad med en koefficient Denna lektion definierar glidande medelvärde termer. En glidande medelfrist i en tidsseriemodell är ett tidigare fel multiplicerat med en koefficient. Låt wt överskridas N 0, sigma 2w, vilket betyder att wt är identiskt oberoende fördelat, var och en med en normal fördelning med medelvärde 0 och samma varians. Den 1: e ordningsrörande genomsnittsmodellen, betecknad med MA 1 är. Xt mu wt theta1w. Den 2: a beställer rörlig genomsnittsmodell, betecknad med MA 2 är. Xt mu wt theta1w theta2. Den q-ordningsrörelserna medellägesmodellen, betecknad med MA q är. Xt mu wt theta1w theta2w prickar thetaqw. Note Många läroböcker och programvara definierar modellen med negativa tecken före villkoren. Detta förändrar inte de allmänna teoretiska egenskaperna hos modellen, även om den vrider de algebraiska tecknen på uppskattade koefficientvärden och oskydda termer i Formler för ACF och avvikelser Du måste kontrollera din programvara för att verifiera om negativa eller positiva tecken har använts för att korrekt skriva den beräknade modellen R använder positiva tecken i sin underliggande modell, som vi gör här. De teoretiska egenskaperna hos en tidsserie med En MA 1-modell. Notera att det enda nonzero-värdet i teoretiskt ACF är för lag 1 Alla andra autokorrelationer är 0 Således är ett sampel ACF med en signifikant autokorrelation endast vid lag 1 en indikator på en möjlig MA 1-modell. För intresserade studenter, Bevis på dessa egenskaper är en bilaga till denna handout. Exempel 1 Antag att en MA 1-modell är xt 10 wt 7 w t-1 där wt överför N 0,1 Således koefficienten 1 0 7 Th E teoretisk ACF ges av. En plot av denna ACF följer. Den plott som just visas är den teoretiska ACF för en MA 1 med 1 0 7 I praktiken har ett prov som vunnits t ge ett så tydligt mönster. Med hjälp av R simulerade vi n 100 Provvärden med hjälp av modellen xt 10 wt 7 w t-1 där w t. iid N 0,1 För denna simulering följer en tidsserieplot av provdata. Vi kan inte berätta mycket av denna plot. Provet ACF för den simulerade data följer Vi ser en spik vid lag 1 följt av allmänt icke-signifikanta värden för lags över 1 Observera att provet ACF inte matchar det teoretiska mönstret för den underliggande MA 1, vilket är att alla autokorrelationer för lags över 1 kommer att vara 0 A Olika prov skulle ha ett något annorlunda prov ACF som visas nedan, men skulle troligen ha samma breda egenskaper. Deoretiska egenskaperna hos en tids serie med en MA 2-modell. För MA 2-modellen är de teoretiska egenskaperna följande. Notera att den enda nonzero värden i teoretisk ACF är för lags 1 och 2 autocorrelat Joner för högre lags är 0 Så, ett ACF-prov med signifikanta autokorrelationer vid lags 1 och 2, men icke-signifikanta autokorrelationer för högre lags indikerar en möjlig MA 2-modell. N 0,1 Koefficienterna är 1 0 5 och 2 0 3 Eftersom detta är en MA 2, kommer den teoretiska ACF endast att ha nonzero-värden endast vid lags 1 och 2.Values ​​av de två icke-oberoende autokorrelationerna är. En plot av den teoretiska ACF följer. Som nästan alltid är fallet, samplingsdata som vunnit t uppträder ganska Så perfekt som teori Vi simulerade n 150 provvärden för modellen xt 10 wt 5 w t-1 3 w t-2 var w t. iid N 0,1 Tidsseriens plot av data följer Som med tidsseriens plot för MA 1-provdata kan du inte berätta mycket för. Provet ACF för den simulerade data följer Mönstret är typiskt för situationer där en MA 2-modell kan vara användbar. Det finns två statistiskt signifikanta spikar vid lags 1 och 2 följt av icke - - värda värden för andra lags Observera att på grund av provtagningsfel stämde provet ACF inte Det teoretiska mönstret exactly. ACF för General MA q Models. A egenskap av MA q modeller i allmänhet är att det finns icke-oberoende autokorrelationer för de första q lagsna och autokorrelationerna 0 för alla lags q. Non-unikhet av samband mellan värdena på 1 och rho1 I MA 1-modell. I MA 1-modellen, för vilket värde som helst av 1, ger den ömsesidiga 1 1 samma värde. För exempel, använd 0 5 för 1 och använd sedan 1 0 5 2 för 1 Du får rho1 0 4 I båda fallen. För att tillfredsställa en teoretisk begränsning som kallas invertibilitet begränsar vi MA1-modellerna till att ha värden med absolutvärdet mindre än 1 I exemplet just givet är 1 0 5 ett tillåtet parametervärde medan 1 1 0 5 2 inte kommer att. Invertibility av MA modeller. En MA-modell sägs vara omvändbar om den är algebraiskt ekvivalent med en konvergerande oändlig ordning AR-modell. Genom konvertering menar vi att AR-koefficienterna minskar till 0 när vi flyttar tillbaka i tiden. Invertibility är en begränsning programmerad till tidsserie programvara som används för att uppskatta coeff icients of models med MA termer Det är inte något vi söker efter i dataanalysen Ytterligare information om invertibility-begränsningen för MA 1-modeller finns i bilagan. Avancerad teorinotering För en MA q-modell med en specificerad ACF finns det endast en omvänd modell Den nödvändiga förutsättningen för invertibilitet är att koefficienterna har värden så att ekvationen 1- 1 y - qyq 0 har lösningar för y som faller utanför enhetens cirkel. R Kod för exemplen. I exempel 1 ritade vi Teoretisk ACF av modellen xt 10 wt 7w t-1 och sedan simulerade n 150 värden från denna modell och ritade provtidsserierna och provet ACF för de simulerade data R-kommandona som användes för att plotta den teoretiska ACF var. acfma1 ARMAacf ma c 0 7, 10 lags av ACF för MA 1 med theta1 0 7 lags 0 10 skapar en variabel som heter lags som sträcker sig från 0 till 10 plot lags, acfma1, xlim c 1,10, ylab r, typ h, huvud ACF för MA 1 med theta1 0 7 abline h 0 lägger en horisontell axel till plot. Th E första kommandot bestämmer ACF och lagrar det i ett objekt med namnet acfma1 vårt val av namn. Plot-kommandot 3: e kommandotyperna lags mot ACF-värdena för lags 1 till 10 ylab-parametern markerar y-axeln och huvudparametern sätter en titel på plottet. För att se de numeriska värdena för ACF använder du bara kommandot acfma1. Simuleringen och diagrammen gjordes med följande kommandon. Lista ma c 0 7 Simulerar n 150 värden från MA 1 x xc 10 lägger till 10 för att göra medelvärdet 10 Simulering standardvärden betyder 0 diagram x, typ b, huvud Simulerat MA 1 data acf x, xlim c 1,10, huvud ACF för simulerade provdata. I exempel 2 ritade vi den teoretiska ACF av modellen xt 10 wt 5 w t-1 3 w t-2 och simulerade sedan n 150 värden från denna modell och ritade provtidsserierna och provet ACF för den simulerade Data R-kommandona som användes var. acfma2 ARMAacf ma c 0 5,0 3, acfma2 lags 0 10 plot lags, acfma2, xlim c 1,10, ylab r, typ h, huvud ACF för MA2 med theta1 O5, theta2 O 3 abline h 0 lista ma c 0 5, 0 3 x xc 10 plot x, typ b, huvud Simulerad MA 2-serie acf x, xlim c 1,10, huvud ACF för simulerade MA 2 Data. Appendix Bevis av egenskaper hos MA 1 . För intresserade studenter är här bevis på teoretiska egenskaper hos MA 1-modellen. Variantext xt text mu wt theta1 w 0 text wt text theta1w sigma 2w theta 21 sigma 2w 1 theta 21 sigma 2When h 1, föregående uttryck 1 W 2 För någon h 2 , Det föregående uttrycket 0 Anledningen är att, enligt definitionen av oberoende av Wt E wkwj 0 för någon kj vidare, eftersom wt har medelvärdet 0, E wjwj E wj 2 w 2.For en tidsserie. Använd detta resultat för att få ACF ges ovan. En inverterbar MA-modell är en som kan skrivas som en oändlig ordning AR-modell som konvergerar så att AR-koefficienterna konvergerar till 0 när vi rör sig oändligt tillbaka i tiden. Vi ska visa omvändlighet för MA 1-modellen. Vi då Substitutionsförhållande 2 för w t-1 i ekvation 1. 3 zt wt theta1 z-theta1w wt theta1z-theta 2w. At tiden t-2 ekvation 2 blir. Vi ersätter sedan förhållandet 4 för w t-2 i ekvation 3. zt wt Theta1 z - theta 21w wt theta1z - theta 21 z - theta1w wt theta1z - theta1 2z theta 31.Om vi ​​skulle fortsätta oändligt, skulle vi få oändlig ordning AR - modellen. Zt wt theta1 z - theta 21z theta 31z - theta 41z prickar. Observera att om 1 1 kommer koefficienterna som multiplicerar lagren av z ökar oändligt i storlek när vi flyttar tillbaka i tiden. För att förhindra detta behöver vi 1 1 Detta är Villkoret för en inverterbar MA 1-modell. Infinite Order MA-modellen. I vecka 3 ser vi att en AR 1-modell kan konverteras till en oändlig MA-modell. Xt - mu wt phi1w phi 21w prickar phi k1 w prickar summa phi j1w. Denna summering av tidigare vita ljudvillkor är känd som kausalrepresentation av en AR 1 Med andra ord är xt en speciell typ MA med ett oändligt antal termer Går tillbaka i tid Detta kallas ett oändligt order MA eller MA En ändlig ordning MA är en oändlig ordning AR och någon ändlös ordning AR är en oändlig ordning MA. Recall i vecka 1 noterade vi att ett krav på en stationär AR 1 är att 1 1 Låt oss beräkna Var xt med hjälp av kausalrepresentationen. Detta sista steg använder ett grundläggande fakta om geometriska serier som kräver phi1 1 annars skiljer serien bort.